cevabı evet olan soru.
peki olmalı mı?
kastedilen duruma göre değişir.
normalde şu tür başlıklardaki kavram kargaşasını gördüğüm zaman uzun uzun yazardım ama gerçekten yorgun olduğum için sadece iki madde yazıp bunları açıklamakla yetineceğim.
1- duygulara sahip olmak öyle çok da matah bir şey değil:
duygu dediğimiz sistemin hiçbir manevi, kutsal, üstün bir tarafı yoktur. hatta aksine duygu dediğimiz şey oldukça mekanik olan, vahşi doğaya adapte olabilmek için evrimleşmiş keskin hatları olan sistematik bir tepkime silsilesidir. burada dikkat edilmesi gereken şey, duygu mekanizmasının (yani hissettiğimiz duygusal tepkilerin) neredeyse tamamen geleneksel programlama yapısına sahip olmasıdır.
geleneksel programlama dediğimiz şey de kısaca şu prensiple çalışır:
ruleset -> input -> output
yani:
1. adım - makineye kural setini sağla: yani makineye iki sayıyı yan yana koyup topla dediğiniz zaman izleyeceği adımları teker teker tarif et ki toplayabilsin.
2. adım - makineye veri sağla: yani makineye hangi iki sayıyı yan yana koyması gerektiğini söyle ki makine senin toplamasını istediğin o iki sayıyı toplayabilsin.
3. adım - sonuca bak: ilk iki adım gerçekleştirildikten sonda ne çıkmış bu makineden diye sonuca bak.
burada okuduğunuz 3 adım geleneksel programlamanın özünde yatan en temel aşamalardır. web siteleri, hesap makineleri, oyunlar gibi birçok geleneksel programların neredeyse hepsi bu şekilde yazılır.
duygu dediğimiz şey de tam olarak böyle çalışan bir mekanizmadır. basitçe ortada bir kural, bir input ve bir de output vardır, hepsi bu. kimse terk edildiğinde, sevgilisi kendisini aldattığında, en yakın dostu öldüğünde nasıl bir hisse sahip olması gerektiğini düşünüp o hisse sahip olmaya karar vererek o hissi yaşamaz. zaten kişinin programlamasında o his vardır ve program kendi içinde otomatik olarak çalışır.
örneğin diyelim ki birine gidip evlenme teklif ediyorsunuz. burada zaten en başından kural seti bellidir:
" if answer == yes
emotion = happy
else
emotion = sad
"
yani cevap evet olursa mutlusun evet olmazsa da mutsuzsun. tabii buradaki kural seti kişiden kişiye değişiklik gösterse de prensipte çalışma mantığı herkeste aynıdır.
ikinci aşama ise sisteme çalışabilmesi için veriyi sağlama, yani evlilik teklifini yapıp sisteme girilecek olan "answer" inputunun ne olduğuna, yani cevabın evet olup olmadığına bakma aşamasıdır. burada sevgilinin vereceği cevap sistemden bağımsız şekilde ortaya çıkar ve bu cevap sisteme girilir.
üçüncü aşama ise inputa, yani sevgilinin evlenme teklifine verdiği cevaba bakıp, bu cevabı kural setine göre sistemde işleyip ortaya bir output basmaktır.
yapay zeka dediğimiz konseptin özünde yatan işleyiş ise bundan farklıdır. çünkü bu işte sistemin işleyişinin sırası farklıdır. buradaki işleyişin insan hayatındaki karşılığı ise "düşünme " dediğimiz konsepttir.
buradaki sıralama ise şu şekildedir:
input-> output -> ruleset
ilk baştaki toplama örneğinden devam edersek:
1. aşama: makineye iki sayı ver.
2. aşama: makineye bu iki sayıyı toplayınca çıkan sonucun ne olduğunu söyle.
3. aşama: makine sana toplama dediğin şeyin ne demek olduğunu, yani toplama yapmak için gerekli olan kural setinin ne olması gerektiğini söylesin.
iki farklı yaklaşımın kıyaslanması görsel
burada anlaşılması gereken şey, duygu dediğimiz konseptin zaten düşünmekle, yani yapay zekanın temelinde yatan mantıkla ilgisinin olmaması. duygu kavramı düşünerek, yani kural setinin ne olması gerektiğini ortaya koyarak elde edilen bir şey değildir. duygu evrimsel süreçte rastgele bir şekilde genlerimize kodlanmış ve çevreye adaptasyonumuza, dolayısıyla üreme konusunda türümüze avantaj sağladığı için süregelmiş bir programdır. hepsi bu.
şimdi ikinci meseleye geçelim.
2- yapay zekanın duygulara sahip olmasına gerek var mı:
duyguların tek olayı hayatta kalma ve üreme konusunda düşünmeden hareket etmemize yardımcı olmak olduğu için burada asıl sorgulanması gereken mesele yapay zekanın böyle bir şeye ihtiyaç duymasını isteyip istemememizdir. çünkü günün sonunda yapay zekayı programlama amacımızı belirleyen de biziz.
aslında zaten yapay zeka dendiğinde çoğu insanın aklına yapay zeka sisteminin altında yatan matematiksel mimari gelmez. bu matematiksel mimarinin geleneksel programlama ile bütünleşik kullanıldığı chatgpt gibi kompakt sistemler gelir, ki bu sistemler de kendilerine verilen kural setleriyle çalışırlar. nitekim bu da teknik açıdan baktığımızda bu modellerin zaten dürtüsel davrandıklarını gösterir.
yani yapay zeka dediğimiz şey aslında chatgpt'nin bize cevap verme sürecinde değil, bize hangi durumda ne cevap vereceğini öğrenme sürecinde aktif olan ve kural setini çıkarmak için çalıştırılan şeydir. siz chatgpt'ye soru sorduğunuz, yani prompt girdiğiniz zaman chatgpt size cevap verip vermemeye karar vermek için düşünmez. ne sorarsanız sorun cevap vermeye programlanmıştır zaten ve bu program yapay zekanın belirlediği bir kural setini kullanarak output verdiği ve bu kural setini de sürekli geliştirdiği için zekice cevaplardır.
en basit şekilde chatgpt'nin bizim promptumuza otomatik olarak cevap vermesi yapısal olarak bizim evlenme teklifimiz reddedildiği zaman otomatik olarak üzülmemiz ile aynı şeydir. yani aslında duygusal bir tepkidir. nitekim zaten gereklidir ve gerekli olduğu için vardır.
eğer duyguları olabilir mi sorusundan kasıt epik müzik duyduğunda kendisini ana karakter gibi hissedebilir mi ise mesela, o zaman evet, cevap vermeye programladığımız gibi bunu hissetmeye programlarsak hisseder.
peki ben böyle bir şey için programlar mıydım?
hayır.
neden?
çünkü üremesi veya vahşi bir hayvanla karşılaştığı zaman kaçıp canını kurtarması gerekmeyen bir şey için duygusal olmanın hiçbir faydası yok.
kestane pilavi kamehameha10 profili
-
yapay zeka'nın duyguları olabilir mi
-
öğrencilerin matematik yapamama nedenleri
matematik zekasına sahip olmamaları değildir.
nitekim lisede matematik dersi veren birinin anlattığı şeyleri anlayıp yapabilmek için herhangi düzeyde matematik zekasına ihtiyaç yoktur. matematik zekası denilen şeye daha önce kimse tarafından çözülememiş gerçek hayat problemlerini çözebilmek için gerek vardır. lise matematik dersinden başarılı olmak için ise ortalama altında bir zekaya sahip olmamak yeterlidir. hatta daha önce matematik zekası diye özel bir zeka türü olmamasının sebebini fmri tarama sonuçları içeren makaleler ve ileri düzeyde matematik dersi veren matematikçileri kaynak göstererek yazmıştım.
merak edenler için:
sözel-sayısal diye bir ayrım gerçekten var mı?
matematik ve dilbilgisi öğrenmenin beyindeki etkileri
---
henüz lise çağında matematik ile yeni yeni tanışmaya başlayan gençlere tavsiyem:
yukarıda yazıldığı gibi size matematik zekasına sahip olmadığınızı söyleyen ve isteseniz de yapamayacağınızı iddia eden yeteneksiz bir öğretmeniniz varsa o kişiyi ciddiye almayın. çünkü bu kişi zaten bir matematikçi değil ve muhtemelen hayatı boyunca hiçbir zaman ileri düzeyde matematiksel bir konu üzerine okuma bile yapmamış, maaşımı alırım işime bakarım diyen bir insan. benim de lisedeyken derslerinden sıkılıp asla dinlemediğim için matematik zekasına sahip olmadığımı ve dil okumam gerektiğini söyleyen yeteneksiz bir matematik öğretmenim olduğu için lise ve üniversite hayatımı dil okuyarak geçirdim. ancak 20 yaşımdayken matematiğin lisede gördüğüm kadar sıkıcı ve anlamsız bir şey olmadığını kendi yaptığım okumalar sayesinde keşfettim ve 20 yaşından sonra hayatımın yönünü değiştirip matematikçi oldum.
evariste galois gibi bir dahinin ecole polytechnique gibi bir okula geri zekalı olduğu gerekçesiyle kabul edilmediği bir dünyada yeteneksiz bir lise öğretmeninin size geri zekalı demesi gayet normaldir. bu tür kişileri dinlemek ve ciddiye almak için hiçbir gerekçeniz olmadığını unutmayın ve eğer yapabileceğinize inanıyorsanız bunları dinlemeden yolunuza devam edin. eğlendiğiniz ve keyif aldığınız konuları feynman'ın da dediği gibi saygısızca çalışın.
hayatınız boyunca size bir şeyleri yapacak kadar zeki olmadığınızı, bir şeyleri becerecek imkana sahip olamayacağınızı, gereksiz hayaller kurduğunuzu ve gerçekçi olmadığınızı söyleyen insanlarla karşılaşacaksınız. diğer toplumları bilmem ama türk toplumu böyledir çünkü. farklı düşünen, farklı işlerden keyif alan ve sistemin dayattığı biçimde öğrenmeyi reddeden insanları aşağılamaya çalışan kompleksli kişiliklerle doludur. sadece matematik konusunda değil, hiçbir konuda bu kişileri ciddiye almayın. bu kişiler öğretmenleriniz, büyükleriniz, akrabalarınız, arkadaşlarınız, hatta ve hatta ebeveynleriniz olsa bile.
eğitim sisteminin konuyla ilişkisi hakkında yazdığım başka bir yazı için de ayrıca: liselerde matematiğin tamamen yanlış öğretilmesi -
1 milyon dolar ödüllü matematik problemleri
clay matematik enstitüsü'nün çözümünü bulan kişiler için 1 milyon dolar ödül verdiği problemlerdir.
içlerinden en ünlüsü ve benim de bireysel çalışma konumla yakından ilişkili olan riemann hipotezini olabilecek en basit şekilde açıklamaya çalışacağım. hipotezi o kadar temelden anlatacağım ki lise hayatında hiç matematik dersi almamış olan insanlar bile hiç değilse problemin ne ile ilgili olduğunu anlayabilecek.
ancak önceden belirtmeliyim ki her ne kadar ben bunu elimden geldiğince basit açıklasam da bu problem neticede gelmiş geçmiş en zor matematik problemlerinden biridir ve anlaşılması oldukça zordur. bu sebepten matematik bilmeden problemi tamamen anlayabilmek mümkün değildir. bu yazının amacı problemin "ne ile ilgili olduğunu", yani bu problemle uğraşan insanların ne yapmaya çalıştıklarını açıklamaktır.
bu yazıyı yazıyorum çünkü ben de bu problemle bir süredir uğraşıyorum ve her sorana problemin ne ile ilgili olduğunu anlatmaktan yoruldum. sorana gönderecek link olsun diye yazıyı yazıyorum.
başlayalım.
öncelikle riemann hipotezinin ne ile ilgili olduğunu anlayabilmek için şu kavramların her birinin özünü kavramak gerek:
sayı doğrusu
koordinat sistemi
fonksiyon
mutlak değer
kare kök
asal sayılar
sonsuz seriler
logaritma
i sayısı
kompleks sayılar
kompleks analiz
yukarıdaki liste sizi korkutmasın çünkü her biri aslında birbiriyle ilişkili ve sezgisel kavramlardır. yukarıdaki kavramları teker teker açıklarken en son riemann hipotezine varacak ve konuyu rahatlıkla kavrayacağız.
her şeyden önce eksi ile artı kavramlarının anlamlarını bilmek gerekir.
eksi kavramı günlük hayatta çok fazla kullanıldığı için insanlara doğada bulunan bir kavrammış gibi gelir ancak doğada eksi diye bir şey yoktur. eksi dediğimiz şey herhangi bir noktadan başka bir noktaya ulaşabilmek için gitmemiz gereken yönü temsil etmek için kullanılır. bana göre bunun en iyi örneği sıcaklık örneğidir.
sıcaklık dediğimiz şey bir maddeyi oluşturan atomların sahip olduğu ortalama kinetik enerjidir. yani o maddeyi oluşturan atomların her birinin kütlesi ile hızlarının karesinin çarpımının yarısının toplamının atom sayısına bölümüdür.
çok çok daha basit açıklayalım:
bir atom düşünelim. bu atom durduğu yerde sabit durmaz ve bir yöne doğru hareket eder. eğer bu atom kapalı bir alandaysa da bir sağa bir sola çarpıp durur. atomun sağa sola çarpıp durma hızı bu atomun sıcaklığıdır. sıcaklığın si birimi, yani bilim dünyasında ortak kabul gören birimi ise bizim günlük hayatta kullandığımız santigrat derece değil, kelvindir.
görsel
şimdi sağa sola belirli bir hızda hareket eden bir atom hayal edelim ve bu atomun sıcaklığına 10 kelvin diyelim. eğer biz bu atomun sıcaklığını düşürüp 1 kelvin yaparsak basitçe atomun sağa sola hareket etme hızını düşürmüş oluruz. yani atom 1 kelvin olduğunda aslında daha yavaş hareket ediyor olur.
şimdi atomun 0 kelvin olduğunu düşünelim. bu durumda atom hiçbir şekilde hareket etmeden olduğu yerde yerde duruyor demektir. buna fizikte mutlak sıfır denir.
şimdi bu atomu daha da soğutmaya çalıştığımızı ve sıcaklığını -1 kelvin yapmaya çalıştığımızı düşünelim. bunu nasıl yapabiliriz ki? zaten hiç hareket etmeyen bir cismin nasıl daha az hareket etmesini sağlayabiliriz?
bu mümkün değildir çünkü doğada zaten eksi diye bir değer yoktur. yani -1, -2, -3 gibi sayılar aslında belirli bir merkez noktasına göre belirtmek için uydurulmuş kavramlardır. bu yer belirtme işini de en temelde sayı doğrusu dediğimiz çizginin üzerinde yaparız.
görsel
görseldeki şey bir sayı doğrusu. bu doğru basitçe üzerinde birbirine eş aralıklarla bölünmüş uzunlukların gösterildiği bir çizgidir. bu çizgi üzerinde yazan 1,2,3 gibi semboller basitçe o noktanın merkeze olan uzaklığını temsil eder.
örneğin 2+3 dediğimiz zaman " merkezden sağ tarafa doğru 2 birim ilerle, sonra da vardığın noktadan sağa doğru 3 birim ilerle" demiş oluruz. bu işlemi yaptığımız zaman kendimizi 5 noktasında buluruz. böylelikle 2+3=5 olur.
eğer bunun yerine 5-3 dersek "merkezden sağa doğru 5 birim ilerle, sonra da vardığın noktadan sola doğru 3 birim ilerle" demiş oluruz. böylelikle kendimizi 2 noktasında buluruz.
görselden görülebileceği üzere 0 ile 1 noktası arasındaki uzaklık ile 0 ile -1 arasındaki uzaklık birbirine eşit büyüklüktedir. bu uzaklıkların boyutları küçülebilir. örneğin 1 birimden daha kısa olan 0,5 uzaklık bulabiliriz. aynı şekilde -1 birim uzaklıktan daha kısa olan uzaklık -2 değil, -0,5 olacaktır. yani 0 noktasından -0,5 noktasına gidersek -1 noktasın giderken kat edeceğimiz mesafeden daha az yol ilerleriz.
olabilecek en küçük mesafe 0 birimdir ve bundan daha küçük uzaklık istesek de yapamayız. 0'dan daha küçük uzaklık -1 değildir. çünkü öyle bir uzaklık yoktur. bu durum aynı 0 kelvin bir atomu daha yavaş hale getiremeyecek olmamıza benzer.
yani işin özünde 0'dan küçük sayı yoktur çünkü sayı dediğimiz şeyler aslında çizgi gibi büyüklüklerdir ve yokluktan daha küçük bir şey mümkün değildir. eksi dediğimiz şey büyüklüğün, bir bakıma çizginin ilerleme yönüdür. bu durum modern dünyada verilen yetersiz matematik eğitiminden ötürü anlaşılması zor bir durum olabilir ancak insanlık tarih boyunca sayılara hep bu şekilde, yani çizgi olarak bakmıştır. örneğin öklid'in elementler kitabında sayılar hep çizgi olarak temsil edilir.
(kümeler çok başka mesele onlara hiç girmiyorum)
kitaptan örnek görsel
bu algı önemlidir çünkü bu temel sezgiye sahip olmazsak kareleri, dolayısıyla kare kökleri, dolayısıyla i sayısı dediğimiz şeyin ne kadar tuhaf bir şey olduğunu anlayamayız.
şimdi kareleri ve kare kökleri anlamaya çalışalım:
öklid isimli arkadaşımız kare dediğimiz şeyin tanımını elementler isimli kitabının 1. cildinin 46. önermesinde ve 9. cildinin 1. önermesinde yapmıştır.
1. cilt 46 önerme
9. cilt 1. önerme
karenin ne anlama geldiğini oldukça basit biçimde anlatayım:
bir uçlu kalemin kalem ucunu alıyoruz. diyelim ki bu ucun uzunluğu 5 cm. ucu beyaz bir kağıdın üstüne koyup herhangi bir doğrultuda hiç yön değiştirmeden 5cm yuvarlıyoruz. kağıdın üstünde ortaya çıkan siyah alana kare denir.
uç dediğimiz şey matematikteki çizgimiz, kare dediğimiz şey de ortaya çıkan alandır. bu karenin gösterimi 5^2 şeklinde olacaktır. bu da 5x5, yani 25 demek olacaktır.
yani aslında 3^2, 5^2, 2^2 gibi sayılarla gösterip kare dediğimiz her şey geometrik karedir. örneğin (a+b)^2, yani a ile b'nin toplamının karesi dediğimizde kastettiğimiz şey de geometrik karedir.
görsel
şimdi kare kök dediğimiz şeyin ne olduğunu düşünelim:
kare kök basitçe herhangi bir kareyi çizmemizi sağlayacak olan uçtur. örneğin 25 sayısının kare kökü 5'tir. bu, elimize 5 birim uzunlukta bir uç alarak alanı 25 olan bir kare çizebiliriz demektir. yani aslında kök 25 dediğimiz şey bizim kullandığımız ucu, yani çizgiyi temsil eder.
şimdi sayı doğrusuna dönelim:
sayı doğrusunda 0 ile 1 arasındaki çizgiyi koparıp onunla bir kare yaparsak ve aynı şekilde 0 ile -1 arasındaki çizgiyi koparıp onunla da bir çizgi yaparsak iki çizginin oluşturacağı karenin büyüklüğü eşit olur.
bunu gösterebilmek için göz hizasıyla örnek çizdim: görsel
(-1)^2 sayısının (1)^2 sayısına, yani -1'in karesinin 1'in karesine eşit olmasının sebebi budur.
hatırlarsanız bir sayının kare köküne, o kareyi oluşturmak için kullandığımız uç, yani çizgi demiştik. kök içindeki işlemlerin karesini kökten çıkarırken mutlak değer olarak çıkarmamızın, yani her zaman pozitif olacak biçimde çıkarmamızın sebebi çıkan sayının bir kareyi temsil ediyor olmasıdır.
görsel
yani bu aslında bir uçla çizebileceğimiz en küçük kare 0 olur, o da yokluktur, yokluktan daha küçük kare de yoktur demektir.
buraya kadar her şey tamam ise i sayısı dediğimiz sayının ne kadar acayip bir sayı olduğuna geçelim.
i sayısı dediğimiz sayı karesinin büyüklüğü -1'e eşit olan, yani yokluktan daha küçük olan sayıdır.
i sayısı
bu insanın algılarını zorlayan bir olaydır çünkü ironiktir ki ismi hayali sayı olan sayıyı hayal etmek mümkün değil. i sayısını hayal etmek demek yokluktan küçük bir birim hayal etmek demektir.
"hani -1 dediğimiz şey sadece farklı yöndü, hani 1'e eşitti ve olay sadece yönden ibaretti, o zaman i sayısının karesi 1'e eşit olmaz mı" sorusunu soran olacaktır. burada ayırt etmemiz gereken olay -1 ile gösterilen çizgi ile -1 ile gösterilen kare kavramlarının bambaşka şeyler olmaları. yani -1 uzunluğunu kullanarak kare yaptığımızda ortaya çıkan şey (-1)^2'den 1 olur ve bu 1'in temsil ettiği şey -1 dediğimiz uzunluk ile çizilen karenin alanıdır.
mesela -2'nin karesi de 4 olur 2'nin karesi de 4 olur çünkü -2 uzunluğundaki çizgi ile çizilen karenin 2 ile çizilenden farkı yoktur. sayıların kareleri büyüklük temsil ettiği için hiçbir sayının karesi 0'dan küçük olarak algılanabilecek olan - işaretiyle gösterilmez.
şimdi sayı doğrusuna gelelim.
hatırlatma olarak tekrar sayı doğrusu: görsel
sayı doğrusunda hangi aralığı alıp kare çizerseniz çizin alanı 0'dan büyük bir kare ortaya çıkar. yani basitçe siz bu sayı doğrusu üzerinde i sayısını nerede ararsanız arayın bulamazsınız. mesela her ne kadar sayı doğrusunda pi sayısına ulaşmak imkansız olsa da pi sayısının 3 ile 4 arasında bir yerde olduğunu biliriz. ancak i sayısında bu durum geçerli değildir çünkü i sayısı sayı doğrusunda bulunmaz.
bu noktadan sonra kompleks analiz'e geçmemiz gerekir ancak kompleks analizi anlamadan önce fonksiyon ve grafik kavramlarını anlamamız gerek.
fonksiyon dediğimiz şey basitçe her sayıya aynı işlemi uygulayan bir sistemdir.
diyelim ki biz f(x) = 2x+2 şeklinde bir fonksiyon tanımladık. bu durumda fonksiyonumuz basitçe "herhangi bir sayıyı kendiyle bir kere toplayıp çıkan sonuca 2 ekleyen makine" şeklinde tarif edilebilir.
örneğin f(1) dersek f(1) = (1+1) + 2 işleminden 4 sonucunu buluruz. f(2) dersek de f(2) = (2+2) + 2 işleminden 6 sonucunu buluruz.
fonksiyon dediğimiz bu makineyi görselleştirme yoluna grafik denir. grafik basitçe bir sayı doğrusuna, o sayı doğrusunu dik kesen başka bir sayı doğrusu ekleyerek oluşturduğumuz düzlemdeki noktaları oluşturan çizgidir.
bu tanımlama karışık olduğu için görsellerle destekleyelim:
iki sayı doğrusunun ortaya çıkardığı şey
bu görselde sağa-sola ilerleyen sayı doğrusuna x ekseni, yukarı-aşağı ilerleyen sayı doğrusuna da y ekseni denir.
biz fonksiyonumuzu f(x) = 2x + 2 şeklinde tanımlamıştık. burada f(x) dediğimiz yerdeki x, bize x ekseninde bakacağımız noktayı, yani sağa-sola giden sayı doğrusunda hangi tarafa ne kadar gideceğimizi temsil eder. eşittir işaretinden sonraki 2x+2 kısmı da bize y ekseninde, yani yukarı-aşağı doğru giden sayı doğrusunda hangi tarafa ne kadar gideceğimizi temsil eder.
şimdi diyelim ki biz f(3) = 2 + 3 dedik.
yukarıdaki işlemi yaparak varmamız gereken noktayı bulalım:
görsel
x ekseninde f(3) kısmında olduğu gibi 3 adım, y ekseninde de 2+3 kısmında olduğu gibi 5 adım ilerlediğimizde bu noktaya vardık.
eğer bir fonksiyonu alıp tüm sayılar için aynı işlemi yapıp vardığımız noktaları bir bir işaretlersek ortaya bir çizgi çıkar.
yani mesela f(x) = 2x + 2 fonksiyonunda x'i önce 1 alıp bir nokta bulur, sonra 2 alıp bir nokta bulur, sonra 3 alıp bir nokta bulur ve bu şekilde sonsuza dek ilerler ve hiçbir sayıyı eksik bırakmazsak ortaya bir çizgi çıkar. yani mesela 1/2 sayısı da f(1/2) şeklinde hesaplamamız gerek. bütün sayılardan kasıt reel sayılardır.
f(x) = 2x + 2 fonksiyonundaki bütün sayıların noktalarını bulursak ortaya çıkan çizgi: görsel
bu noktaya kadar oldukça güzel yol kat ettik ve riemann hipotezi olayını anlayabilmek için geriye sadece asal sayılar, logaritma, diziler ve kompleks analiz kaldı. bunları da hemen sezgisel olarak açıklayıp riemann dediğimiz adamın ne muhteşem bir dahi olduğunu görelim.
asal sayı dediğimiz sayılar 2'den başlamak üzeri kendisi ve 1 dışında hiçbir doğal sayıya tam bölünemeyen sayılardır. yani bilinen bütün doğal sayılar ya asal sayıdır ya da birden fazla asal sayının çarpımıdır.
örneğin 2 sayısı asaldır, 3 asaldır, 4 sayısı (2x2) olmak üzere birden iki asal sayının çarpımıdır, 5 sayısı asaldır, 6 sayısı (2x3) olmak üzere birden fazla asal sayının çarpımıdır, 7 sayısı asaldır, 8 sayısı (2x2x2) olmak üzere birden fazla asal sayının çarpımıdır, 9 sayısı (3x3) olmak üzere iki asal sayının çarpımıdır...
bu şekilde saya saya sonsuza dek gideriz ve her sayı ya asal olur ya da asal sayıların çarpımı olur.
öklid sonsuz adet asal sayı olduğunu kanıtlamıştır ve bu kanıtı şu yazıda gösterdim.
asal sayılarla ilgili problem, bu sayıların sayı doğrusu üzerinde neye göre belirdiğini açıklayan örüntü bulmaktır.
daha basit açıklayalım:
diyelim ki biz sayı doğrusu üzerinde herhangi bir noktadayız. bu noktaya x noktası diyelim. öğrenmek istediğimiz şey x+1 noktasının, yani bir sonra varacağımız noktanın bir asal sayı ile gösterilip gösterilmeyeceğinden kesin olarak emin olmak istiyoruz.
bu konuda birkaç şey biliyoruz elbette. örneğin x noktası tek sayıysa bir sonraki nokta çift olacaktır ve 2'ye bölünebildiği için asal olmayacaktır. ya da mesela x ile x sayısının 2 katı olan 2x arasında mutlaka ama mutlaka bir asal sayı olacağını da biliriz ama işte bu asal sayıların neye göre ortaya çıkacağını bulmak çok zor meseledir.
matematikçiler binlerce yıl bu örüntüyü aramıştır ve örüntüyü keşfetme işi riemann hipotezini ortaya atan kişi olan bernhard riemann'a kısmet olmuştur.
riemann'ın örüntüyü nasıl bulduğunu anlamak için kompleks analiz denilen şeyin ne olduğunu yüzeysel de olsa anlamak gerekir.
hatırlarsanız i sayısının sayı doğrusundaki hiçbir yerde bulunamayacağından bahsetmiştim. matematikçiler yaratıcı insanlardır ve bu problemin üstesinden muhteşem bir şekilde gelmişlerdir.
"eğer sayı doğrusunda i sayısını bulamıyorsak o zaman biz de sadece i sayısından oluşan bir sayı doğrusu yaratalım"
matematik ve fizik arasındaki fark isimli yazıda matematik evreninin canımız ne isterse o olabileceğinden, istediğimiz şekilde bir şeyler yaratabileceğimizden bahsetmiştim. bu olay bunun çok güzel bir örneğidir.
basitçe i sayısından, yani kök -1 sayısından ve bu sayının katlarından oluşan bir sayı doğrusu inşa ediyoruz. bu sayı doğrusu da -3i -- -2i -- -i -- 0 -- i -- 2i -- 3i şeklinde ilerliyor.
hatırlarsanız fonksiyonlardan bahsederken iki sayı doğrusunu birleştirmiştik. şimdi x ekseni bildiğimiz sayı doğrusu, y ekseni de i sayılarıyla yarattığımız sayı doğrusundan oluşan bir düzlem oluşturuyoruz. bu düzleme de kompleks düzlem diyoruz.
mesela bu düzlemde f(x) = 2x dersek normal fonksiyonda hangi x değerine nasıl varırsa aynı şekilde varıyoruz. tek fark, vardığımız noktayı bir kompleks sayı olarak, yani a+bi şeklinde temsil ediyoruz.
buna örnek olarak görsel: kompleks düzlem
artık riemann hipotezine geldik.
euler ve gauss isimlerini ve bu adamların ne kadar büyük matematikçi olduklarını mutlaka bir yerlerden duymuşsunuzdur. euler, gauss ve riemann hep birlikte voltran yapıp asal sayıları paramparça ediyor ve bütün sırrı bozuyorlar.
işe önce euler zeta fonksiyonu ismini verdiğimiz bir fonksiyon tanımlayarak başlıyor.
zeta fonksiyonu sonsuz bir seridir ve z(x)= ((1)^-x) + ((2)^-x )... diye sonsuza dek gider.
yazının sonunda izlenmesi gereken videodan görsel: zeta fonksiyonu
euler bu fonksiyonu inceliyor ve fonksiyona girilen değer 1'den büyük olduğu zaman grafikte ortaya çıkan çizginin yakınsak olduğunu, yani belirli bir noktaya git gide yaklaştığını fark ediyor.
eğer yakınsama ve limit gibi kavramları bilmiyorsanız ve tıpkı bu yazıdaki gibi açıklanan bir yazı arıyorsanız sizi alice in wonderland'in matematik kitabı olması başlığındaki yazıyı okuduktan sonra buraya dönebilirsiniz.
devam edelim:
euler bu fonksiyonun yakınsak olduğunu fark ettikten sonra hızını alamıyor ve muazzam bir şey yapıyor. euler zeta fonksiyonunun aynı fonksiyonun alt kısmına asal sayıların katlarını yazsaydık ortaya çıkacak olan tüm sonsuz serilerin toplamı olduğunu keşfediyor.
bu şu demek:
ilk asal sayı olan 2'den başlayarak bir seri tanımlayalım ve bu seri tıpkı zeta fonksiyonu gibi olsun ama tek fark bölme işleminin alt kısmındaki sayıların 1, 2, 3,4... şeklinde değil de ilk asal sayının üstel katları olan 1, 2,4,8,16... şeklinde ilerlesin. bu seriye f1 diyelim.
( serinin 1 ile başlamasının sebebi (2^0)'ın 1 olması )
daha sonra yine aynı şeyi yapalım ama bu sefer seri 2 yerine 3'ün üstel katları olan 1,3,9,27... şeklinde ilerlesin ve bu seriye de f2 diyelim.
böyle böyle f1, f2, f3, f4 diye sonsuza dek ilerleyelim.
eğer bütün bu serileri çarparsak, yani f1 x f2 x f3 x f4... diye sonsuza dek gidersek ortaya çıkan sonuç zeta fonksiyonuna eşit olur.
yani z(x) = f1 x f2 x f3 x f4
buraya kadar her şey tamam ise sahneyi gauss devralıyor:
gauss asal sayılara kafayı takmış ve 3 milyon sayısına kadarki bütün asal sayıların listesini çıkarmış. listeyi çıkarttıktan sonra da asal sayıların nasıl bir düzende arttığını görebilmek adına prime counting function isminde bir yöntem geliştirmiş.
bu yöntem aslında oldukça basit bir grafikten ibaret. eğer x değeri bir asal sayı değilse grafikteki çizgi dümdüz ilerler, eğer x değeri bir asal sayı ise grafikteki çizgi 1 birim yukarıya çıkıp dümdüz ilerlemeye devam eder.
gauss'un grafiğinin görseli
gauss bu grafiği çizebildiği kadar çiziyor ve x ekseninde ilerledikçe ortaya çıkan şeklin neye benzediğini görmeye çalışıyor ve bu şeklin logaritmik integral fonksiyonu denilen bir fonksiyona epey benzediğini fark ediyor.
önce iki grafiğin görsellerini ve benzerliğini paylaşıp sonra logaritma dediğimiz şeyin ne olduğunu çok çok basitçe açıklayıp işi riemann'da bitirelim.
görseldeki kırmızı çizgi logaritmik integral fonksiyonu iken siyah çizgi gauss'un asal sayma yönteminden ortaya çıkan çizgidir: görsel
logaritma dediğimiz şey bir fonksiyondur ve işlevi basitçe bir sayının kaçıncı üssünün istenilen değeri verdiğini bulmaya yarar.
mesela log2(4) dediğimiz zaman basitçe "2 sayısının kaçıncı üstel katı bize 4 sayısını verir" sorusunu sormuş oluruz.
log2(4) = y diyelim. bu durumda y sayısı 2 sayısının üstüne koyduğumuzda 4 sonucunu veren sayı anlamına gelir.
bu durumda log2(4) = 2 olur çünkü 2^2 = 4 eder.
yazının buraya kadarki kısmının tamamını açıklamayı başardığıma inanıyorum ancak şimdi en zor kısma geldik ve bunu açıkçası nasıl açıklayacağımı gerçekten bilemiyorum. bu kısmı çok da anlamasak bile yine de riemann hipotezinin ne ile ilgili olduğunu anlayabileceğimiz için logaritmik integral fonksiyonu kısmının sadece bir görselini gösterip devam edeceğim.
integral denilen şeyin ne olduğunu yine yukarıda bahsettiğim alice yazısında açıklamıştım. logaritmik integral fonksiyonunu da sıkıntılı insanların uğraştığı integralli logaritmalı çok acayip bir şey olarak hayal edin.
tanımı şu şekildedir: görsel
önemli olan husus, logaritmik integral fonksiyonu dediğimiz fonksiyonun her x noktasındaki eğimi 1/log(x) değerine eşit olmasıdır.
gauss çok zeki adam, öyle böyle değil.
bu sebepten o da hızını alamıyor ve şunu fark ediyor:
diyelim ki biz gittik herhangi bir doğal sayı seçtik. bu sayıya x sayısı diyelim.
x sayısının sayı doğrusunda sol tarafında ilerledikçe karşımıza çıkan bazı sayılar asal değilken bazı sayılar asal olacaktır. ayrıca x sayısından sağa doğru gittikçe de aynı şekilde bazı sayılar asal iken bazıları asal olmayacaktır.
diyelim ki saymaya başlıyor ve hem sola doğru 10 defa hem de sağa doğru on defa sayıyoruz. bizim sağımızdan ve solumuzdan saydığımız toplam 20 sayının içindeki asal sayıların saydığımız tüm sayılara oranı çok düşük bir hata payıyla 1/log(x) olur.
yalnız bu durum x değeri yükseldikçe belirginleşir çünkü sayı doğrusunun en başı diğer sayıların oluşmasını mümkün kılabilmek adına birçok asal barındırmak zorunda olduğu için hata payı yüksek olacaktır.
yani siz x değerini 10 alırsanız hata payı yüksek olur ama x değerini 1000000 alırsanız hata payı oldukça düşer.
buradan sonra artık riemann isimli arkadaşa gelmiş bulunmaktayız.
riemann gauss'un asal sayma yöntemini ve euler'in zeta fonksiyonunu alıp kompleks sayılar düzlemine katıp biraz modifikasyon yapıyor ve asal sayıları elle koymuş gibi bulmanın yolunu ortaya çıkarıyor.
bunu şu şekilde yapıyor:
hani bir euler'in z(x) şeklindeki zeta fonksiyonu vardı, bir de 3 + 2i gibi kompleks sayılar vardı ya.
riemann "zeta fonksiyonunda x yerine kompleks sayıları koysak ne olur ki acaba" diye düşünüp zeta fonksiyonunun kompleks x değerleriyle ne gibi sonuçlar verdiğini inceliyor.
incelemesinin sonucunda görüyor ki, zeta fonksiyonuna girilen değerin gerçek sayı olan kısmı, yani mesela 3+2i sayısının 3 kısmındaki gibi gerçek olan kısım 1'den büyük olursa fonksiyon yakınsak oluyor ama sen bu değeri 1'den küçük yaparsan fonksiyon ıraksak oluyor. yani bu fonksiyon gerçek kısmı 0 ile 1 arasındayken sonsuza kadar yükseliyor.
şimdi 1 milyon dolarlık zorluğa vardık artık.
(bu noktadan sonrasını anlamamak çok normal çünkü bu noktadan sonrasını basitleştirmeyi denemek bile artık insanı yorar ve ben dümdüz yürüyeceğim. buraya kadar anladıysanız, buradan sonrasını yüzeysel olarak bilseniz bile yeter.)
riemann bu durumdan hoşlanmadığı için 0 ile 1 arasında ıraksak olan foksiyonun tanım aralığını genişletmesini sağlayan analytic continuation ismindeki ne sen sor ne ben söyleyeyim seviyesindeki tekniği kullanıyor. bu teknik aslında beğenmediğin fonksiyonu başka bir fonksiyonla birleştirerek tanım aralığını genişletmek şeklinde özetlenebilir.
yani basitçe euler'in zeta fonksiyonu vardı ama riemann'ın işine yaramıyordu, bu sebepten riemann kendi uydurduğu başka bir fonksiyondan yardım alarak euler'in fonksiyonunu işine gelecek biçimde modifiye etti.
ortaya çıkan bu yeni fonksiyona riemann zeta fonksiyonu denir.
riemann bu yeni fonksiyona yeni değerler giriyor ve çok acayip bir şey keşfediyor.
önce riemann zeta fonksiyonuna değerler girildiğinde ortaya çıkan görüntüyü verelim: görsel
görselden görülebileceği üzere bu fonksiyona girilen değerler bir şekilde dönüp dolaşıp 0 noktasına değiyor ve yoluna devam ediyor. işte grafiğin 0 noktasına vurduğu her, ama her değerde girilen değerin gerçek sayı olan kısmı 1/2 sayısı. yani sen gidip de riemann zeta fonksiyonuna gerçek kısmı 1/2 olan kompleks değerler girersen 0 sonucunu alabiliyorsun.
riemann bunu keşfettikten sonra gauss'un asal sayma yöntemine çok benzer bir yöntem geliştiriyor.
hatırlarsanız gauss her asala denk geldiğinde y ekseninde 1 yukarı çıkıyordu. riemann da aynı şeyi yapıyor ama her seferinde 1 yukarı çıkmak yerine tıpkı gauss'un 1/log(x) formülündeki mantık gibi log(x) miktarda yukarı çıkıyor. yani mesela biz 5'e geldik ve 5 bir asal sayı, bu durumda y ekseninde 1 birim yukarı çıkmak yerine log(5) birim yukarı çıkıyoruz.
riemann bu yöntemle gauss'un grafiğine benzer bir grafik çıkarıyor ve en sonunda şu sonuca varıyor.
eğer ben gidip bu yeni grafiğin üstünden geçen bir dalga oluşturursam ve zeta fonksiyonunda 0 değerini veren her kompleks sayı grafikteki dalgaya ekleyerek harmoni katarsam eklediğim değerler yükseldikçe dalga ile yeni ürettiğimiz grafik birbirleriyle gittikçe daha uyumlu olur.
bu olayı artık nasıl açıklarım bilmediğim için buraya direkt gif şeklinde animasyon eklenmiş bir link bırakıyorum: gifli site
bu özetle şu demek:
hani bize 0 değerini veren 1/2 gerçek kısımlı zeta fonksiyonu değerleri vardı ya. işte o 0 değerini veren yerler aslında bize bir sonraki asal sayının nerede olduğunu, yani en başta sorduğumuz "biz x noktasında isek x+1 asal mı" sorusunun cevabını söyler ve biz bu cevabı yukarıdaki gifte gösterilen teknik ile bulabiliriz. yani asalların yerini tahmin edebiliriz. şimdiye kadar 10^13 adet birebir uyuşan zeta 0 bulduk ve bulmaya da devam ediyoruz.
problem şu:
biz ne kadar test edersek edelim, bütün zeta 0 değerlerinin bizim asal sayıların yerini bulabilmemize sağlayacağının garantisini veremeyiz.
yani mesela biz bir milyon kere yazı tura atalım ve bir milyon kere yazı gelsin, yine de bir sonraki sefer tura gelmeyeceğini garanti edemeyiz. o zamana kadar bir milyon defa yazı gelmiş olması bizi her seferinde yazı geleceğine inandırsa bile bizim matematiksel açıdan emin olabilmek adına her seferinde yazı geleceğini garantilememize olanak sağlayacak bir yöntem geliştirmemiz gerekir. eğer bu yöntemi bulup da garanti edebilirsek yazı hipotezimizi kanıtlamış oluruz.
riemann hipotezini kanıtlamaya çalışmak da aynı mantık. eğer gidip de tüm zeta 0 değerlerinin istisnasız biçimde uyuştuğunu kanıtlamanın yolunu bulursan hem parayı alır hem de ismini euler, gauss ve riemann'ın yanına 4. olarak eklersin.
şu konuya da değineyim:
ben bunu kanıtlamaya çalışmıyorum. riemann kanıtlayamadıysa ben de kanıtlayamam çünkü bende o adamdaki kafa yok. zaten benim işim gücüm mantık ve kümedir.
benim merak ettiğim şey bu kadar zeki adam bir araya gelip de nasıl bunu kanıtlayamadı 150 yıldır. neden olmuyor bir türlü bu? belki de kanıtlamak mantıksal açıdan çelişki barındırdığı için imkansızdır ve hipotezi aksiyom olarak kabul etmek zorundayızdır.
olur mu öyle şey demeyin çünkü olur. bu durum tamamen gödel'in eksiklik teoremi ve konuyla alakalı 82 yılında yayınlanan bir makaleyle ilgili ama o başka girdinin konusu.
kaynakça cephanesi:
özet video
gauss'un işleri
logaritmik integral
prime number theorem
okuyarak anlamayan için prime number theorem khan academy videosu
1/log(x) muhabbeti
analytic continuation
riemann zeta fonksiyonu
kontrol ettiğimiz zeta 0 değerleri -
fizik kanunlarınca geleceği görmenin mümkün olması
matematiğin aksine internetteki fizik üzerine yapılan paylaşımların ve bilgi kirliliğinin inanılmaz derecede yüksek olmasından dolayı ne zaman fizikle ilgili bir şey yazsam küfür yediğim için sözlükte fizik hakkında paylaşım yapmama konusunda yeminli olmama rağmen bana bu seferlik yeminimi bozma kararı verdirecek kadar güzel bir olaydır.
bundan neredeyse iki yıl önce izlediğim bir videoda boğaziçi üniversitesi fizik bölümü öğretim üyelerinden erkcan özcan'ın bir yerde "tıpkı geçmişi görmenin mümkün olması gibi geleceği görmek de mümkündür" minvalinde bir cümlesini görüp merak etmiş ve uzunca bir süre bu konuda araştırma yapmıştım. aradan geçen iki yılın ardından durumu olabilecek en basit şekilde açıklama zamanı geldi.
erkcan özcan'ın bunu söylediği videonun cümleyi söylediği kısmı: video
öncelikle geleceği görmenin nasıl mümkün olduğundan bahsetmeden önce şunu kesin ve net bir şekilde belirtmem gerek.
zaman bizim uydurduğumuz hayali bir şey değildir. zaman, sadece bizim zihnimizde olayları sıralamamızla ortaya çıkan soyut bir kavram değildir. zaman, biz var olmasak da var olan bir şeydir.
herkesin ilgi alanı fizik olmasa bile bilim kurgu izleyen ya da okuyan çoğu kişi uzay-zaman kelimesini duymuş olsa gerek. bu hikayelerde bir yerden bir yere giderken seyahat eden kişilerin "uzayda seyahat ediyorum" demek yerine "uzay-zamanda seyahat ediyorum" demelerinin sebebi bizim zaman olarak bildiğimiz şeyin de aslında bir mekan olmasıdır.
uzay olarak bildiğimiz şeyi düşünelim. bizler uzayı fizik dilinde i,j ve k; günlük hayatta ise ileri, geri, yukarı, aşağı ve sağa, sola koordinatlarını kullanarak neyin nerede olduğunu belirtebileceğimiz bir koordinat sistemi algısına sahibiz: görsel
zamanı hayal ettiğimizde ise bu üç boyutlu koordinat sisteminin bir parçası olarak değil, bundan tamamen bağımsız bir doğru gibi hayal ederiz.
ancak gerçekte durum böyle değildir.
evrendeki konumumuzu belirli bir referans noktasına göre belirtmeye çalışsaydık koordinatları (x, y, z) şeklinde gösterilen (uzunluk, genişlik, yükseklik) değerleriyle değil, (x,y,z,t) şeklinde gösterilen (uzunluk, genişlik, yükseklik, zaman) değerleriyle belirtebilirdik.
zaman da aslında uzay ile iç içe geçmiş bir mekan olduğundan, bir noktada bulunduğumuzda aslında aynı zamanda bir zamanda da bulunmuş oluruz. yani eğer biz bir yerde bulunuyorsak; mesela yere göre on metre yüksekteysek, tıpkı yere göre on metre yükseklikte olduğumuz gibi yere göre x zaman dilimi ileride ya da geride de oluyoruz.
şimdi evreni hayal etmeye çalışacağız, ancak dört boyutlu bir evren hayal edemediğimiz için her ne kadar gerçekte öyle olmasa da uzayı iki boyutlu yüzeyler olarak hayal ederken zamanı da bu yüzeylerin ilerlediği bir boyut olarak hayal edeceğiz.
görsel
şekilde gördüğünüz kesit şeklindeki kağıt parçaları uzay, bu kesitlerin içinde ilerlediği koridor, yani boyut ise zamanı temsil ediyor.
şimdi şöyle düşünelim.
present yazan kağıt parçası zaman dediğimiz boyutun bizim için "şu an" olarak algıladığımız noktasında. bizim bu kağıt parçasının üzerindeki bir nokta olduğumuzu düşünürsek, o kağıt parçasının üzerindeki diğer her nokta, yani aslında evrendeki o zaman diliminde bulunan her şey bizimle aynı "şu an" diliminde. örneğin o noktalardan biri ben iken, başka bir nokta arkadaşım mahmut. bu durumda mahmut'un şimdiki zamanı ile benim şimdiki zamanım aynı olur ve bu durum bizim zaman boyutunda aynı koordinatları paylaştığımız anlamına gelir. yani ben ona baktığımda onun açısından onun ne geçmişini ne de geleceğini görüyor olurum.
görsel
peki ya mahmut ve ben tıpkı uzay koordinatlarında aynı noktada olmadığımız gibi zaman koordinatında da farklı yerlerde olup birbirimize baksaydık?
mahmut'un uzaydaki göreli hızı ile benim hızımın aynı olmadığı durumlarda mahmut'un zamandaki konumu ile benim zamandaki konumum farklılık gösterecektir. belirli bir hareket sonrası mahmut'un zamanda bana göre yavaş hareket ettiğini ve kendi deneyimi açısından bizim şu anımızda bulunduğumuz kağıt parçasından bir gerideki kağıt parçasına düştüğünü varsayalım.
öncelikle şunu belirtmeliyim ki bu görseldeki her bir kağıt parçası uzayı temsil ettiğinden aslında her bir kağıt parçasında ben ve mahmut hali hazırda bulunmaktayız.
gösterim: görsel
uzayda farklı hızlarda hareket eden cisimler için zamanın farklı hızlarda aktığını ve bu duruma zaman genişlemesi dendiğini biliyoruz. bilmeyenler için bunun nasıl olduğunu kısaca açıkladığım bir ekşi şeyler yazısı mevcut: zaman neden kişiden kişiye değişir?
şimdi mahmut uzayda benden farklı bir hızla hareket ettiği için mahmut'un zamanı bana göre yavaş akmış ve mahmut benden bir önceki kağıt parçasında kalmış, ben ise mahmut'tan bir sonraki kağıt parçasında kalmış olayım.
bu durumda mahmut'un şimdiki zaman olarak hissettiği zaman benim geçmişim olurken, benim şimdiki zaman olarak hissettiğim zaman ise mahmut'un geleceği olur.
eğer ben, mahmut kendi açısından benim bir arkamda kalan kağıt parçasındaki zaman diliminde iken, kendi kağıt parçamdaki mahmut'un uzayda bulunduğu noktaya bakar ve o noktada mahmut'u görürsem, teknik olarak ben kendi şimdiki zamanımı görüyor olsam bile mahmut'a göre mahmut'un geleceğini görüyor olurum.
görsel
yani aslında durum şundan ibaret.
bir arkadaşımızı alıp uzayın bizden uzak bir noktasına koyarsak ve o kişinin bize göre uzaydaki hareket hızını değiştirirsek, o kişi bizden farklı bir zaman diliminde yaşamaya başlar.
bu durumda eğer biz uzayda o kişinin olduğu yere bakar ve o kişiyi görürsek, aslında henüz o kişi kendi bakış açısından bizim gördüğümüz şeyleri yaşamamış olsa bile biz o kişinin bizim zaman dilimimizde yaşadıklarını görüyor, yani aslında o kişinin kendi açısından geleceğini görüyor oluruz.
buradan şu sonucu çıkarıyoruz:
geçmiş, şimdiki zaman ve gelecek dediğimiz şeyler hep birlikte var olan şeylerdir. örneğin şu an bizim geçmişte yaşadığımız şeyler bir uzaylı türüne göre onların şimdiki zamanı olabilir. aynı şekilde bizim şimdiki zaman olarak yaşadığımız şey başka bir uzaylı türüne göre de gelecek zaman olabilir.
einstein "geçmiş, şimdiki zaman ve gelecek arasındaki ayrımımız bir illüzyondan ibarettir" sözü tam da bu sebepten söylemiştir. çünkü bizim şimdiki zaman olarak gördüğümüz şey başkasının şimdiki zamanı olmak zorunda değildir.
bu konuda yapılan belgesellerden birinin geleceği görmekle ilgili kısmının fizikçi brian greene tarafından anlatıldığı on dakikalık bir video linki bırakıyorum.
bu videoyu bulmak binlerce video içinden epey zor oldu ama açıkçası bulduğuma değdi. izlemediyseniz mutlaka vakit ayırıp izleyin çünkü ufkunuzu iki katına çıkaracağından eminim.
video linki -
uzaylılardan gelebilecek en korkunç mesaj
"dünya üzerindeki en zeki üçüncü tür olduğunuzdan gezegeninizin geleceği konusunda sizin de fikrinizi almayı uygun gördük"
-
ateistlerin cevaplayamadığı soruyla dalga geçmesi
şu arkadaşa birisi lütfen yörüngesi güneşe venüs'ten daha yakın olan merkür'ün yüzey sıcaklığının venüs'ten düşük olduğu bilgisini yüklesin.
bunların hastalığı bu zaten. her şeyin kendilerinin anlayabilecekleri kadar basit açıklaması olsun istiyorlar.
olmayınca da ben anlayamıyorum demek yerine tanrının işine sual olmaz diyorlar.
(bkz: aklı yok fikri var)
edit: arkadaşlar hepinizi yanlış bilgilendirdiğim için özür dilerim.
ayrıca "sobaya yaklaşınca daha sıcak olur" tekniği ile beni aydınlatan çaylak arkadaşıma sonsuz teşekkürlerimi ve minnetimi sunarım. maalesef konu hakkında bu kadar detaylı düşünebilecek birikime sahip değildim. kendisi sayesinde artık sahibim.
adam dalga geçmiş ironi yapmış diyenler için edit: ben de ilk başta ironi yaptığını düşünüp komik buldum ve profiline girip başka neler yazmış acaba diye inceledim. ciddi ciddi yazdığını anlayınca da dayanamayıp yapıştırdım girdiye.
(bkz: kimin troll olduğunu anlayamamak) -
bir ateistin inanmasını sağlayacak asgari olay
benim için budur
-
okuduğu kutsal kitabı anlamayan toplum
bizim toplumumuz değildir.
bizim toplumumuz okumadığı kutsal kitabı anlamaz. -
üçgenin iç açılarının toplamının 180 olmaması
karakter sınırına takıldığı için başlığı bu şekilde açmak zorunda kaldım.
tam hali :" üçgenin iç açılarının toplamının her zaman 180 derece olmaması."
üst edit1: arkadaşlar olayın lise ile ilgisi şu. ben bütün lise hayatımı matematik sınavlarında yüz üzerinden beş alarak geçirdim. okula ilk gittiğim gün sözde matematik öğretmenim "kümeler diye şeyler var otobüs gibi düşünün işte bunları böyle topluyorsunuz" dediği için ben liseden mezun olana dek gram matematik öğrenmedim. lise bittikten sonra gidip yabancı dil bölümüne girip yapmam gereken iş matematik olmasına rağmen lüzumsuzca yıllarımı harcadım. bir gün fizik okuyan bir arkadaşım bana elindeki portakalı gösterip "kestane bak şimdi üçgen yapacağım 180'den büyük açısı olacak" dedi ve o gün benim hayatım değişti. "aslında hiç de sıkıcı değilmiş ki bu" dedim kendi kendime. oturduk bu çocukla günlerce matematik ve fizik tartıştık. sırf bir arkadaşım bana lise hayatım boyunca hiçbir öğretmenimin göstermediği bir şey gösterdi diye ben 20 yaşından sonra oturup yemeden içmeden günde 14 saatin üzerinde matematik çalışıp alanımı değiştirdim. siz çocuklara ilginç bir şeyler göstermemeye yeminli olabilirsiniz. ama ben değilim. o yüzden özelden küfür etmeyi keserseniz memnun olurum.
üst edit2: o düzlem farklı düzlem bu düzlemi karıştırdın yazanlar için başlık altında biri link bırakmış. kendisine teşekkür ederim. #136105087
türk eğitim sisteminin yetersizliğini gösteren durumlardan biri de bunun bilinmemesidir. geometri hakkında bilgisi olduğunu düşünen öğrencilerime veya arkadaşlarıma söylediğimde defalarca uzaylı muamelesi gördüm. insanlar okula gidiyorlar, matematik dersine giriyorlar, öğretmenlerinin "üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir" demesini dinliyorlar ve neden sorusunu sormadan kabul edip hayatlarına devam ediyorlar. aynı durum kümelerde, fonksiyonlarda, kalkülüste ve hatta dört işlemde bile geçerli. üçgen meselesi de bunun örneklerinden biri.
peki nasıl her zaman 180 derece olmaz? ya da ne zaman 180 derece olur?
öncelikle şunu belirtmem gerek. liselerde öğretilen geometri aslında geometri konusunun tamamı değildir. liselerde öğretilen geometri, matematikteki geometri konusunun iki boyutlu geometri alt dalının bükümsüz yüzeylerini inceleyen kısmı olan öklid geometrisidir.
günlük hayatta kullanılması daha olası ve kolay olan geometri iki boyutlu geometridir. iki boyutlu geometrinin ise üç kısmı vardır.
küresel geometri, hipebolik geometri ve öklid geometrisi.
üç farklı iki boyutlu geometri çeşidi olmasının sebebi, her çeşitte kullanılan uzayın farklı özelliklere sahip olmasıdır. küresel geometri dış bükey şeklindeki uzayı, öklid geometrisi herkesin bildiği öklid uzayını, hiperbolik geometri ise ne olduğunu anlamanın bile çok zor olduğu ama iç bükey olarak hayal edilebilecek olan hiperbolik uzayı inceler.
zihninde canlandıramayanlar için üç farklı uzayın karşılaştırıldığı bir görsel ( soldan sağa küresel geometri, öklid geometrisi ve hiperbolik geometri )
küresel ve hiperbolik geometride üçgenin iç açılarının toplamının neden 180 derece olmadığını anlayabilmek için, önce öklid geometrisinde neden bir üçgenin iç açılarının daima 180 derece olduğunu bilmemiz gerekiyor.
öklid geometrisinde bir üçgenin iç açılarının 180 derece olması aslında öklidin aksiyomlarından sonra dizdiği varsayımlarından (bunlara aksiyom da deniyor) beşincisinin bir sonucudur.
nedir bu varsayım?
"eğer bir doğru parçasını, iki doğrunun üzerinden geçecek şekilde çizerseniz ve aynı tarafta doksan dereceden daha az iki açı oluşursa, o zaman bu iki doğru kesişir."
daha iyi anlaşılabilmesi için -> görsel
bu varsayım üzerine düşünen matematikçi john playfair, bu varsayımın daha genel bir tanımının yapılabileceğini fark edip varsayımı şu şekilde değiştirdi.
" bir doğru üzerinde bulunmayan bir noktadan, o doğruya paralel sadece bir doğru çizilebilir." -> görsel
şimdi bu noktada durup düşünmemiz gerekiyor. çünkü 5. aksiyom bize aslında birden fazla şey söylüyor.
5. aksiyom bize bir doğruya herhangi bir noktadan o doğruya paralel olan başka bir doğru çizmenin mümkün olduğunu söylüyor.
peki bu her zaman mümkün olabilir mi? her yüzeyde geçerli bir aksiyom mudur bu?
hayır değildir.
şimdi bir düşünce deneyi yapmamız gerekiyor.
dünyanın tam tepesinde, mesela kuzey kutbunda olduğumuzu varsayalım. kendimizi rastgele bir yöne çevirip ekvatora gelene dek yürüyoruz. ekvatora vardığımızda ekvator çizgisi üzerinde yürümeye başlayıp dünyanın göbeğinde bir miktar ilerliyoruz. bu durumda yürümüş olduğumuz yolun arkasında iz olsaydı, dünya üzerinde birbirini dik açı ile kesen iki doğru parçası yaratmış olurduk.
şimdi ekvatorun herhangi bir yerinden tekrar kuzey kutbuna yüzümüzü dönüp, kuzey kutbuna varana dek yürüyelim. bunu yaptığımızda hem başladığımız yere dönmüş, hem bir üçgen oluşturmuş, hem de bu üçgenin içinde iki farklı 90 derecelik açı elde etmiş olduk. üçgenin üç açısı olduğuna ve açılarından herhangi birinin 0 'a eşit ya da 0'dan küçük olamayacağını bildiğimize göre elde ettiğimiz üçgenin açıları 90+90+x olur. yani oluşturduğumuz üçgenin iç açılarının toplamı 180'den büyük olur -> görsel
bunun sebebi, küresel geometride öklid geometrisindeki 5. varsayımın mümkün olmamasıdır. çünkü küresel geometride birbirine paralel iki doğru çizmek imkansızdır. eğer aynı doğru tarafından doksan derecelik açıyla kesilen iki doğru çizer ve bu doğrular üzerinde yürürseniz, eninde sonunda iki doğrunun birbiriyle kesiştiğini görürsünüz. bu doğruların keşistiği yere de kutup denir.
mesela yerçekiminin sebebi de budur. kütle uzay zamanı büker, bükülen uzay zaman küresel bir şekil alır, normalde birbirine paralel doğrular üzerinde giden iki farklı cisimin aldığı yol da uzay-zamanın aldığı küresel geometri sebebiyle bir noktada kesişir. bizim çekim gücü dediğimiz şey aslında bu kesişmeden ibarettir. tabii bu şekilde anlatınca basitmiş gibi görünse de genel görelilik inanılmaz derecede karmaşık ve zor bir matematiğe sahiptir.
yine de bu konuda fikir sahibi olmak isteyenler uzay zaman bükülmesinin oldukça güzel görselleştirildiği şu kısa videoyu izleyebilirler -> https://www.youtube.com/…channel=scienceclicenglish
hiperbolik geometri ise küresel geometrinin tam tersi gibi bir şeydir. burada da öklid geometrisi perspektifinden bakıldığında birbirine paralel olması gereken iki doğru birbiriyle kesişmek yerine birbirinden daima uzaklaşır. bu gerçekten insanın zihnini zorlayan bir geometri çeşididir ve sağduyularla anlamak oldukça zordur. eğer hiperbolik bir gezegende yaşamanın nasıl olduğunu merak ediyorsanız steam platformundan hyperbolica oyununu oynayabilirsiniz.
hiperbolik geometri hakkında detaylı yüzeysel bilgi için ise hyperbolica oyununun tasarımcısı tarafından yapılmış şu videoya göz atabilirsiniz -> https://www.youtube.com/watch?v=zqo_s3yna2w
edit1: üçgenin türkçe tanımı hakkında fikrim yok ancak matematik dünyasında triangle, yani tri - angle, yani "üç iç açısı olan geometrik cisim" şeklinde tanımlanıyor. üçgen özellikleri de yine incelendiği geometri çeşidinin alt dalına göre tanımlanıyor.
edit2: belki de türkiye'den doğru düzgün bilim insanı çıkmamasının sebebi, verilen eğitim süresince temel bilimlerin getirisi olan neden - sonuç ilişkisi üzerinde durulması yerine "iyi de bu günlük hayatta işe yaramaz" mantığı ile ilerleniyor olmasıdır. sevgili yazarlar, ben size demiyorum ki herkes matematikçi olsun, herkes fizikçi olsun. ben size diyorum ki, bildiğimiz şeylerin neden öyle olduklarını bilelim. kaldı ki günlük hayatta kullandığınız bütün teknoloji bu "günlük hayatta işe yaramaz" olan problemlerin çözümlerini arayan insanlar sayesinde ortaya çıktı. en basit örnek, şu an ekşi sözlüğe girmek için kullandığınız bilgisayar teknolojisinin çıkış sebebinin hilbert'in matematik nedir sorusunu cevaplamaya çalışan teorisyenlerin hesaplamalarına yardımcı olması için makinelere duydukları ihtiyaç olması.
hilbert mevzusu için -> https://www.youtube.com/watch?v=heqx2hjkcno
edit3: başlık altında biri reiman uzayına çalış demiş. ne olduğunu merak edenler için doğrusu (bkz: riemann uzayı)
edit4: birçok yazar üniversite düzeyi bilgilerle çocukların kafalarını karıştırmamak gerekiyor benzeri şeyler yazmış. arkadaşlar ben bu tür şeyleri rasyonel sayılarda işlem yapmayı bile öğrenmemiş yaştaki çocuklara ders verirken de anlatıyorum. çocukların kafası karışmıyor, aksine şaşırıp, ilgi duyup merak ediyorlar. bununla ilgili daha önce de bir entry girmiştim. #135495385 şuradan bakabilirsiniz.
edit5: yahu girdiyi başlığı beğenmemiş olabilirsin bunu anlarım da özelden anama neden küfür ediyorsun kardeşim? bunu anlayamıyorum ben. -
kiev'in adı kıyı-ev'den gelir
daha önce bir türk devletinin varlık göstermiş olduğu bir coğrafyada yaşayan bir halkın, içinde bulundukları coğrafya ile şekillenmiş dillerini kullanarak isim verdikleri bir şehrin isminin kökeninin türkçe olabilme ihtimalini absürt bulan üstün zekalı ekşi sözlük yazarlarını gün yüzüne çıkaran önermedir.